設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求f (x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若當(dāng)時(shí),不等式f (x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0, 2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(Ⅰ)f (x)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是(-1, 0)
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),不等式f (x)<m恒成立.(Ⅲ)a的取值范圍是
(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)椋?1, +∞).…………………………………………… 1分
∵ ,
由,得x>0;由,得.………………… 3分
∴ f (x)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是(-1, 0).………………… 4分
(Ⅱ)∵ 由,得x=0,x=-2(舍去)
由(Ⅰ)知f (x)在上遞減,在上遞增.
高三數(shù)學(xué)(理科)答案第3頁(yè)(共6頁(yè))
又 , , 且.
∴ 當(dāng)時(shí),f (x)的最大值為.
故當(dāng)時(shí),不等式f (x)<m恒成立.……………………………… 9分
(Ⅲ)方程, .
記,
∵ ,
由,得x>1或x<-1(舍去). 由, 得.
∴ g(x)在[0,1]上遞減, 在[1,2]上遞增.
為使方程在區(qū)間[0, 2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根,
只須g(x)=0在[0,1]和上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根,于是有
∵ ,
∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
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