Question

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，平面⊥底面，為的中點，是棱上的點，，，．

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）若滿足,求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅲ）若二面角大小為60°，求的長 ．

Answer 1

 （Ⅰ）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，

∴CD // BQ ．                                  

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，                       

∴BQ⊥平面PAD．                                 

∵BQ平面MQB，

∴平面MQB⊥平面PAD．            

（Ⅱ）∵PA=PD，Q為AD的中點， 

∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．                   

如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．則，，，，

由 ，且，得

∵，

∴                           

∴

設異面直線AP與BM所成角為

則=              

∴異面直線AP與BM所成角的余弦值為                

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量為              

由 ，且，得

又，

∴ 平面MBQ法向量為．                     

∵二面角M-BQ-C為30°，  ∴，

∴ ．∴