Question

（1）已知定點(diǎn)、，動點(diǎn)N滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，，，求點(diǎn)P的軌跡方程.

（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，

（�。┰O(shè)直線的斜率分別為、，求證：為定值；

（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？請證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）（�。�；（ⅱ）定點(diǎn)或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意，先確定點(diǎn)N是MF₁中點(diǎn)，然后由確定|PM|=|PF₁|，從而得到|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|，再根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，即可得到點(diǎn)P的軌跡方程；（2）（�。┰O(shè)出點(diǎn)，由斜率公式得到的表達(dá)式，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，得到其為定值；（ⅱ）將以為直徑的圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出，即設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)過直徑的弦所對的圓周角為直角這一幾何性質(zhì)得到，從而得到點(diǎn)的軌跡方程也即以為直徑的圓的方程為

.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040704035122371385/SYS201404070404246299264605_DA.files/image014.png">的系數(shù)有參數(shù)，故，從而得到圓上定點(diǎn)或.即得到所求.

試題解析：（Ⅰ）連接ON∵  ∴點(diǎn)N是MF₁中點(diǎn)  ∴|MF₂|=2|NO|=2

∵  ∴F₁M⊥PN    ∴|PM|=|PF₁|

∴|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|

由雙曲線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的雙曲線.

點(diǎn)P的軌跡方程是  4分

（�。�，，令，則由題設(shè)可知，

直線的斜率，的斜率，又點(diǎn)在橢圓上，所以

，（），從而有.8分

（ⅱ）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則，又易求得、.所以、.故有

.又，化簡后得到以為直徑的圓的方程為

.

令，解得或.

所以以為直徑的圓恒過定點(diǎn)或.

考點(diǎn)：1.點(diǎn)的軌跡方程；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3.向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.