給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足.

（1）若，求及；

（2）求證：對(duì)任意，；

（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說(shuō)明理由.

 

【答案】

見(jiàn)解析

【解析】（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081514040581282261/SYS201308151405311276829877_DA.files/image001.png">，，故，

（2）要證明原命題，只需證明對(duì)任意都成立，

即只需證明

若，顯然有成立；

若，則顯然成立

綜上，恒成立，即對(duì)任意的，

（3）由（2）知，若為等差數(shù)列，則公差，故n無(wú)限增大時(shí)，總有

此時(shí)，

即

故，

即，

當(dāng)時(shí)，等式成立，且時(shí)，，此時(shí)為等差數(shù)列，滿(mǎn)足題意；

若，則，

此時(shí)，也滿(mǎn)足題意；

綜上，滿(mǎn)足題意的的取值范圍是．

【考點(diǎn)定位】考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬難題。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（x∈R，p1，p2為常數(shù)）．函數(shù)f（x）定義為：對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x，f(x)=
f1(x)若f1(x)≤f2(x)
f2(x)若f1(x)＞f2(x)

（1）求f（x）=f1（x）對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立的充分必要條件（用p1，p2表示）；
（2）設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為
b-a
2
（閉區(qū)間[m，n]的長(zhǎng)度定義為n-m）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義函數(shù)fK（x）=
f(x)，  f(x) ＞K
K， f(x) ≤ K
（K為給定常數(shù)），已知函數(shù)f（x）=
5
2
x2-3x2lnx，若對(duì)于任意的x∈（0，+∞），恒有fK（x）=K，則實(shí)數(shù)K的取值范圍為
[
3
2
e
2
3
，+∞)
[
3
2
e
2
3
，+∞)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•上海）給定常數(shù)c＞0，定義函數(shù)f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．?dāng)?shù)列a1，a2，a3，…滿(mǎn)足an+1=f（an），n∈N*．
（1）若a1=-c-2，求a2及a3；
（2）求證：對(duì)任意n∈N*，an+1-an≥c；
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)g(x)=
x1+x2
(x＞0)，f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}
（1）證明：函數(shù)g（x）在（0，1]單調(diào)遞增；
（2）求I的長(zhǎng)度（注：區(qū)間（α，β）的長(zhǎng)度定義為β-α）；
（3）給定常數(shù)k∈（0，1），當(dāng)1-k≤a≤1+k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值．

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