Question

一個透明的球形裝飾品內(nèi)放置了兩個公共底面的圓錐，且這兩個圓錐的頂點和底面圓周都在這個球面上，如圖，已知圓錐底面面積是這個球面面積的

3

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，設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r．
（1）試確定R與r的關(guān)系，并求出較大圓錐與較小圓錐的體積之比；
（2）求出兩個圓錐的體積之和與球的體積之比．

Answer 1

考點：球的體積和表面積,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)出球的半徑，求出球的面積，然后求出圓錐的底面積，求出圓錐的底面半徑，即可求出體積較小者的高與體積較大者的高的比值．
（2）由（1）分別求出兩個圓錐體積的和及球的體積，可得答案．

解答： 解：（1）不妨設(shè)球的半徑為：4；
則球的表面積為：64π，圓錐的底面積為：12π，
∴圓錐的底面半徑為：2

3

；
由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離，球的半徑以及圓錐底面的半徑三者可以構(gòu)成一個直角三角形
由此可以求得球心到圓錐底面的距離是

42-(2 3 )2

=2，
所以圓錐體積較小者的高為：4-2=2，
同理可得圓錐體積較大者的高為：4+2=6；
又由這兩個圓錐的底面相同，
∴較大圓錐與較小圓錐的體積之比等于它們高之比，即3：1
（2）由（1）可得兩個圓錐的體積和為：

1

3

•π•(2

3

)2•8=32π，
球的體積為：

4

3

•π•43=

256

3

π，
故兩個圓錐的體積之和與球的體積之比為：32π：

256

3

π=3：8

點評：本題考查的知識點是球的體積和表面積，圓柱的體積和表面積，其中熟練掌握球和圓錐的體積表面積公式，是解答的關(guān)鍵．