如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,AB=8,AD=4,側(cè)面PAD為等邊三角形,并且與底面所成二面角為60°.

(Ⅰ)求四棱錐PABCD的體積;

(Ⅱ)證明PABD.

本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識(shí)和空間想象能力、分析問題的能力.

解:(Ⅰ)如圖1,取AD的中點(diǎn)E,連結(jié)PE,則PEAD.

圖1

 作PO⊥平面ABCD,垂足為O,連結(jié)OE.

根據(jù)三垂線定理的逆定理得OEAD

所以∠PEO為側(cè)面PAD與底面所成二面角的平面角.

由已知條件可知∠PEO=60°,PE=6,

所以PO=3,

四棱錐PABCD的體積

VPABCD=

(Ⅱ)解法一:如圖1,以O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.通過計(jì)算可得

P(0,0,3),A(2,-3,0),B(2,5,0),D(-2,-3,0).

所以 =(2,-3,-3), =(-4,-8,0).

因?yàn)?sub>?=-24+24+0=0,

所以PABD.

圖2

解法二:如圖2,連結(jié)AO,并延長(zhǎng)AOBD于點(diǎn)F.通過計(jì)算可得

EO=3,AE=2,又由AD=4AB=8,

得                    .

所以                  Rt△AEO∽R(shí)t△BAD

得                     ∠EAO=∠ABD.

所以                  ∠EAO+∠ADF=90°,

所以                  AFBD.

因?yàn)?i>AF為PA在平面ABCD內(nèi)的射影,

所以                  PABD.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點(diǎn)F是PB中點(diǎn).
(Ⅰ)若E為BC中點(diǎn),證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點(diǎn),證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大��;當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

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