如圖,四棱錐P―ABCD中,底面ABCD為矩形,AB=8,AD=4
,側(cè)面PAD為等邊三角形,并且與底面所成二面角為60°.
(Ⅰ)求四棱錐P―ABCD的體積;
(Ⅱ)證明PA⊥BD.
本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識(shí)和空間想象能力、分析問題的能力.
解:(Ⅰ)如圖1,取AD的中點(diǎn)E,連結(jié)PE,則PE⊥AD.
圖1
作PO⊥平面ABCD,垂足為O,連結(jié)OE.
根據(jù)三垂線定理的逆定理得OE⊥AD,
所以∠PEO為側(cè)面PAD與底面所成二面角的平面角.
由已知條件可知∠PEO=60°,PE=6,
所以PO=3,
四棱錐P-ABCD的體積
VP-ABCD=
(Ⅱ)解法一:如圖1,以O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.通過計(jì)算可得
P(0,0,3),A(2
,-3,0),B(2
,5,0),D(-2
,-3,0).
所以 =(2
,-3,-3
),
=(-4
,-8,0).
因?yàn)?sub>?
=-24+24+0=0,
所以PA⊥BD.
圖2
解法二:如圖2,連結(jié)AO,并延長(zhǎng)AO交BD于點(diǎn)F.通過計(jì)算可得
EO=3,AE=2,又由AD=4
,AB=8,
得 .
所以 Rt△AEO∽R(shí)t△BAD,
得 ∠EAO=∠ABD.
所以 ∠EAO+∠ADF=90°,
所以 AF⊥BD.
因?yàn)?i>AF為PA在平面ABCD內(nèi)的射影,
所以 PA⊥BD.
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