Question

若sinα＝，sinβ＝，且α、β均為銳角，求α＋β的值．

 

Answer 1

【解析】學生錯【解析】

【解析】
∵α為銳角，∴cosα＝.

又β為銳角，∴cosβ＝.

∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，

由于0°<α<90°，0°<β<90°，

∴0°<α＋β<180°，故α＋β＝45°或135°.

審題引導：在已知值求角中，角的范圍常常被忽略或不能發(fā)現(xiàn)隱含的角的大小關系而出現(xiàn)增根不能排除．要避免上述情況的發(fā)生，應合理選擇三角函數(shù)形式進行求解，根據(jù)計算結(jié)果，估算出角的較精確的取值范圍，并不斷縮小角的范圍，在選擇三角函數(shù)公式時，一般已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)，已知正余弦函數(shù)值時，若角在(0，π)時，一般選余弦函數(shù)，若是，則一般選正弦函數(shù)．

規(guī)范解答：【解析】
∵α為銳角，∴cosα＝.(2分)

又β為銳角，∴cosβ＝.(4分)

且cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，(10分)

由于0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，

因為y＝cosx在上是單調(diào)遞減函數(shù)，故α＋β＝.(14分)

錯因分析：沒有注意挖掘題目中的隱含條件，忽視了對角的范圍的限制，造成出錯．

事實上，僅由sin(α＋β)＝，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正確的，但題設中sinα＝<，sinβ＝<，使得0°<α<30°，0°<β<30°從而0°<α＋β<60°，故上述結(jié)論是錯誤的．在已知值求角中，應合理選擇三角函數(shù)形式進行求解，避免增根．本題中0<α＋β<π，因為y＝cosx在上是單調(diào)函數(shù)，所以本題先求cos(α＋β)不易出錯．