Question

已知，c∥a，求證b、c為異面直線．

Answer 1

答案：
解析：

證法1 如上圖． 而c//a, 于是A c 在直線b上任取一點(diǎn)B(不同于A)． ∴ AB與c為異面直線，即b、c為異面直線． 證法2 假設(shè)b、c不是異面直線，即b、c為共面直線，則b、c相交或平行． (1)若b∩c=P，，且，從而交點(diǎn)P一定在平面的交線上，即P∈A．于是a∩c=P．這與已知條件a∥c矛盾，因此b與c相交不成立． (2)若b∥c，由a∥c，則a∥b．這與已知條件a∩b=A矛盾，因此b、c平行也不能成立． 綜合(1)，(2)，可知b、c為異面直線． 證法3 假設(shè)b、c不是異面直線，即假設(shè)直線b、c在同一個(gè)平面內(nèi)，則有 在直線b上任取一點(diǎn)B(不同于A)，一定經(jīng)過B點(diǎn)與直線c． 又 A∈a，a∥c， 于是經(jīng)過c與c外一點(diǎn)A的平面就是平面．而這樣的平面只能有一個(gè)，即平面與平面是同一個(gè)平面． 從而，直線b、c都在平面矛盾，因此b、c為異面直線． 注意，在運(yùn)用反證法時(shí)，如果原命題結(jié)論的反面只有一種情形，那么在證明過程中，只要否定這種情況，就能肯定原命題為真．這種反證法稱為歸謬法(如上述證法3)．如果原命題結(jié)論的反面有多種情況，那么在證明過程中，就應(yīng)該把這些情況一一列出，并一一給以否定，才能肯定原命題結(jié)論為真．這種反證法又稱窮舉法(如上述證法2)．