Question

如圖，現(xiàn)要在邊長為100m的正方形ABCD內建一個交通“環(huán)島”．以正方形的四個頂點為圓心在四個角分別建半徑為xm（x不小于9）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個半徑為

1

5

x2m的圓形草地．為了保證道路暢通，島口寬不小于60m，繞島行駛的路寬均小于10m．
（1）求x的取值范圍；（運算中

2

取1.4）
（2）若中間草地的造價為a元/m²，四個花壇的造價為

4

33

ax元/m²，其余區(qū)域的造價為

12a

11

元/m²，當x取何值時，可使“環(huán)島”的整體造價最低？

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）根據題目中的不等關系列出關于x的不等式組，求解即可；
（2）建立“環(huán)島”的整體造價y與x的關系，然后利用導數(shù)求出y取最小值時x的取值即可．

解答： 解：（1）由題意可知，

x≥9 100-2x≥60 100 2 -2x-2× 1 5 x2≥2×10

，
解得，

x≥9 x≤20 -20≤x≤15

，
又由

100

2

-

1

5

x²≥10，
解可得-14≤x≤14，
即9≤x≤14．
（2）記“環(huán)島”的整體造價為y元．
則由題意得，
y=aπ×(

1

5

x2)2+

4

33

ax×πx2+

12a

11

×(104-π×(

1

5

x2)2-πx2)
=

a

11

[π(-

1

25

x4+

4

3

x3-12x2)+12×104]．
令f(x)=-

1

25

x4+

4

3

x3-12x2，
則f′(x)=-

4

25

x3+4x2-24x
=-4x(

1

25

x2-x+6)．
由f′（x）=0得，
x=10或x=15．

∴當x=10時，y取最小值．
答：當x=10m時，可使“環(huán)島”的整體造價最低．

點評：本題主要考查不等關系列不等式，以及導數(shù)在函數(shù)最值問題中的應用．屬于中檔題．