Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{m}{x}$在區(qū)間[1，2]上的最小值為1，則實數(shù)m的值為e-1．

Answer 1

分析 求導，f′（x）=e^x-$\frac{m}{x}$=e^x+$\frac{m}{{x}^{2}}$＞0，函數(shù)在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞增，當x=1時，函數(shù)f（x）取最小值，f（1）=e-m=1，即可求得m的值．

解答 解：f（x）=e^x-$\frac{m}{x}$，f′（x）=e^x+$\frac{m}{{x}^{2}}$，當m≤0，f（x）在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)，故e²-$\frac{m}{2}$=1，
解得m=2（e²-1）＞0，不符合題意，
當m＞0，f′（x）=e^x+$\frac{m}{{x}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞增，
∴當x=1時，函數(shù)f（x）取最小值，
∴f（1）=e-m=1，
∴m=e-1；
故答案為：e-1．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查導數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．