Question

設函數
（1）若函數f（x）在其定義域內是減函數，求a的取值范圍；
（2）函數f（x）是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值時x的值，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數的導數，由于函數在定義域內是減函數，故導數小于等于0恒成立，由此不等式即可求出參數a的范圍；
（2）在函數的定義域上研究其單調性，判斷最值是否存在即可，可以先研究函數的極值，再比較極值與定義域區(qū)間點的大小，看最小值是否存在．
解答：解：（1）函數的導數f'（x）=2x-=
∵函數f（x）在其定義域內是減函數
∴f'（x）≤0在上恒成立
又∵時，2x+1＞0
∴不等式2x²+x-a≤0在上恒成立，即a≥2x²+x在上恒成立
令g（x）=2x²+x，，則g（x）_max=g（1）=3∴a≥3
（2）∵f'（x）=，令f'（x）=0
解得，
由于a＞0，，
∴，
①當即0＜a＜3時，在上f′（x）＜0；在（x₂，1）上f′（x）＞0，
∴當時，函數f（x）在上取最小值．
②當即a≥3時，在[]上f′（x）≤0，
∴當x=1時，函數f（x）在[]上取最小值．
由①②可知，當0＜a＜3時，函數f（x）在時取最小值；
當a≥3時，函數f（x）在x=1時取最小值．（12分）
點評：本題考點是函數的最值及其幾何意義，綜合考查了用導數研究函數的單調性，以及依據單調性判斷函數的最值的規(guī)則步驟，綜合性較強，知識性較強．用導數研究函數的單調性是一很好的方法，做題時要注意靈活選用．