Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的 中點．

（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，試
確定點M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小為60°，并求出 的值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD， 又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系如圖．

則由題意知：Q（0，0，0），P（0，0， ），B（0， ，0），C（﹣2， ，0），
設 （0＜λ＜1），則 ，
平面CBQ的一個法向量是 =（0，0，1），
設平面MQB的一個法向量為 =（x，y，z），
則 ，
取 = ，
∵二面角M﹣BQ﹣C大小為60°，
∴ = ，
解得 ，此時 ．
【解析】（Ⅰ）由已知條件推導出PQ⊥AD，BQ⊥AD，從而得到AD⊥平面PQB，由此能夠證明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．