Question

（2012•肇慶一模）已知圓C與兩圓x²+（y+4）²=1，x²+（y-2）²=1外切，圓C的圓心軌跡方程為L(zhǎng)，設(shè)L上的點(diǎn)與點(diǎn)M（x，y）的距離的最小值為m，點(diǎn)F（0，1）與點(diǎn)M（x，y）的距離為n．
（Ⅰ）求圓C的圓心軌跡L的方程；
（Ⅱ）求滿足條件m=n的點(diǎn)M的軌跡Q的方程；
（Ⅲ）試探究軌跡Q上是否存在點(diǎn)B（x₁，y₁），使得過(guò)點(diǎn)B的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于

1

2

．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定兩圓心分別為C₁（0，-4）、C₂（0，2），由題意得CC₁=CC₂，從而可求圓心C的軌跡是線段C₁C₂的垂直平分線方程；
（Ⅱ）因?yàn)閙=n，所以M（x，y）到直線y=-1的距離與到點(diǎn)F（0，1）的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡Q是以y=-1為準(zhǔn)線，點(diǎn)F（0，1）為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，從而可得軌跡Q的方程；
（Ⅲ）設(shè)出切線方程，求出切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，利用S=

1

2

，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）兩圓半徑都為1，兩圓心分別為C₁（0，-4）、C₂（0，2），
由題意得CC₁=CC₂，可知圓心C的軌跡是線段C₁C₂的垂直平分線，C₁C₂的中點(diǎn)為（0，-1），直線C₁C₂的斜率等于零，故圓心C的軌跡是線段C₁C₂的垂直平分線方程為y=-1，即圓C的圓心軌跡L的方程為y=-1．  （4分）
（Ⅱ）因?yàn)閙=n，所以M（x，y）到直線y=-1的距離與到點(diǎn)F（0，1）的距離相等，
故點(diǎn)M的軌跡Q是以y=-1為準(zhǔn)線，點(diǎn)F（0，1）為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，
∴

p

2

=1，即p=2，所以，軌跡Q的方程是x²=4y；                 （8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得y=

1

4

x2，y′=

1

2

x，所以過(guò)點(diǎn)B的切線的斜率為k=

1

2

x1，
設(shè)切線方程為y-y1=

1

2

x1(x-x1)，
令x=0得y=-

1

2

x12+y1，令y=0得x=-

2y1

x1

+x1，
因?yàn)辄c(diǎn)B在x²=4y上，所以y1=

1

4

x12，
所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=

1

2

|

1

4

x12||

1

2

x1|=

1

16

|x13|
設(shè)S=

1

2

，即

1

16

|x13|=

1

2

得|x₁|=2，所以x₁=±2
當(dāng)x₁=2時(shí)，y₁=1，當(dāng)x₁=-2時(shí)，y₁=1，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1）或（-2，1）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查拋物線的定義，考查切線方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．