Question

9．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+1-2sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 利用倍角公式降冪，再由輔助角公式化積．
（1）直接利用周期公式求得周期，然后由相位的終邊落在x軸上求得函數(shù)的對稱中心；
（2）由x的范圍求得相位的范圍，再由三角函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+1-2sin²x=$\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由$2x+\frac{π}{6}=kπ$，得$x=-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∴f（x）的對稱中心為（$-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，0）（k∈Z）；
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，得2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴$2x+\frac{π}{6}∈$[$-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，則$2sin（2x+\frac{π}{6}）$∈[-1，2]．
即函數(shù)f（x）的值域為[-1，2]．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．