Question

16．AB拋物線y²=4x的過焦點(diǎn)F的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以AF為直徑的圓與y軸有1個公共點(diǎn)；拋物線準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C，若∠OFA=135°，cos∠ACB=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)A（m，n），運(yùn)用拋物線的定義結(jié)合中位線定理，求得M到y(tǒng)軸的距離為AF的一半，可得以AF為直徑的圓與y軸有1個交點(diǎn)；由題意可得直線AB的斜率為1，求得直線AB的方程，代入拋物線方程，可得A，B的坐標(biāo)，求得AC，BC的斜率，再由同角的基本關(guān)系式和二倍角公式計算即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，
設(shè)A（m，n），由拋物線的定義可得|AF|=m+1，
設(shè)AF的中點(diǎn)為M，可得M到準(zhǔn)線的距離為$\frac{1}{2}$（m+1+2）=$\frac{m+3}{2}$，
即有M到y(tǒng)軸的距離為$\frac{m+3}{2}$-1=$\frac{m+1}{2}$=$\frac{1}{2}$|AF|，
則以AF為直徑的圓與y軸相切，可得與y軸有1個交點(diǎn)；
由∠OFA=135°，可得直線AB的斜率為tan45°=1，
即有直線AB的方程為y=x-1，代入拋物線的方程，可得
x²-6x+1=0，解得x=3±2$\sqrt{2}$，
即有A（3+2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$+2），B（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），C（-1，0），
可得直線AC的斜率為k₁=$\frac{2+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直線BC的斜率為k₂=$\frac{2-2\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則∠ACF=∠BCF，cos∠ACB=cos2∠ACF，
由tan∠ACF=$\frac{sin∠ACF}{cos∠ACF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin²∠ACF+cos²∠ACF=1，
解得cos∠ACF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則cos2∠ACF=2cos²∠ACF-1=2×（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²-1=$\frac{1}{3}$．
故答案為：1，$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，以及直線的斜率公式的運(yùn)用和三角函數(shù)的恒等變換，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．