Question

已知函數f（x）=x²+（a+1）x+2?（a≠-1），若f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為奇函數，h（x）為偶函數．若函數g（x），f（x）在區(qū)間（-∞，?1]上均是減函數，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：首先根據題意推斷出h（x）和g（x），進而根據g（x）的單調性推斷出a+1＜0求得a的范圍，進而根據f（x）的單調性和二次函數的性質求得a的范圍，最后綜合可得答案．

解答：解：顯然h（x）=x²+2 是偶函數，g（x）=（a+1）x 在a≠-1時是奇函數，而且f（x）=g（x）+h（x）．
要讓g（x）在區(qū)間（-∞，1]上是減函數，只要斜率（a+1）＜0，即a＜-1．要讓f（x）在區(qū)間（-∞，1]上是減函數，
只要-

1

2

（a+1）≥1  （這是因為f（x）開口朝上，對稱軸 x=-

1

2

（a+1） 自然要在1的右邊才能使f（x）在（-∞，1]上是減函數），即a≤-3．綜上，a的取值范圍是a≤-3．
故答案為a≤-3

點評：本題主要考查了奇偶性和單調性的應用．考查了對函數奇偶性和單調性概念的理解和運用．