12.已知函數(shù)f(x)=a(x-$\frac{1}{x}$)-2lnx(a∈R).
(1)若a=1,求曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)設g(x)=f(x)+$\frac{a}{x}$,求函數(shù)y=g(x)的單調(diào)區(qū)間.

分析 (1)將a=1的值代入,求出函數(shù)的導數(shù),計算f(1),f′(1)的值,代入切線方程即可;
(2)求出g(x)的導數(shù),通過討論a的范圍,解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

解答 解:(1)a=1時,f(x)=x-$\frac{1}{x}$-2lnx,(x>0),
f′(x)=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$,
f(1)=0,f′(1)=1+1-2=0,
∴切線斜率是0,過(1,0),
故切線是x軸;
(2)g(x)=f(x)+$\frac{a}{x}$=ax-2lnx,(x>0),
g′(x)=a-$\frac{2}{x}$=$\frac{ax-2}{x}$,
a≤0時,g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)遞增,
a>0時,令g′(x)>0,解得:x>$\frac{2}{a}$,
令g′(x)<0,解得:0<x<$\frac{2}{a}$,
∴g(x)在(0,$\frac{2}{a}$)遞減,在($\frac{2}{a}$,+∞)遞增.

點評 本題考查了曲線的切線方程問題,考查導數(shù)的應用以及分類討論思想,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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