Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率

3

3

，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，0為坐標(biāo)原點(diǎn)．f₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓c的方程；
（2）若P為橢圓C上的一點(diǎn)，直線PF₂交橢圓于另一點(diǎn)Q，試問是否存在P點(diǎn)使|PF₁|=|PQ|，若存在求△PF₁Q的面積；否則說明理由．

Answer 1

分析：（1）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率

3

3

，推出a與c的關(guān)系，根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，求出a的值，從而求出橢圓c的方程；
（2）P為橢圓C上的一點(diǎn)，直線PF₂交橢圓于另一點(diǎn)Q，假設(shè)存在P點(diǎn)使|PF₁|=|PQ|，利用余弦定理求出p點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而進(jìn)行判斷求解；

解答：解：（1）由題意知，2a=6，所以a=3，又e=

3

3

，
得c=

3

，
所求方程為

x2

9

+

y2

6

=1；
（2）設(shè)|PF₂|=x，則|PF₁|=6-x，
|F₂Q|=6-2x，|F₁Q|=2x，
|F₁F₂|=2

3

，cos∠F₁F₂P=

12+x2-(6-x)2

2×2 3 x

，
cos∠F₁F₂Q=

12+(6-2x)2-4x2

2×2 3 (6-2x)

，
由cos∠F₁F₂P+cos∠F₁F₂Q=0，
化簡(jiǎn)得（x-2）（2x-3）=0，解得x=2或x=

3

2

，
當(dāng)x=2時(shí)，|PF₁|=4，|PQ|=4，|FQ|=4，易得S_△PF1Q=4

3

；
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，|PF₁|=|PQ|=

9

2

，|F₁Q|=3，易得S_△PF1Q=

9 2

2

；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓離心率的應(yīng)用，第二問是一個(gè)存在性問題，我們可以假設(shè)存在P點(diǎn)使|PF₁|=|PQ|，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解，此題是一道中檔題；