Question

如圖，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，過左焦點F（-

3

，0）且斜率為k的直線交橢圓E于A，B兩點，線段AB的中點為M，直線l：x+4ky=0交橢圓E于C，D兩點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求證：點M在直線l上；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)k，使得四邊形AOBC為平行四邊形？若存在求出k的值，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率結(jié)合焦點坐標求得a，b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設出直線AB的方程，和橢圓方程聯(lián)立后由根與系數(shù)的關系求得A，B兩點的橫坐標的和與積，由中點坐標公式得到M的橫坐標，代入直線方程求得M的縱坐標，然后代入直線l的方程驗證得答案；
（Ⅲ）假設存在這樣的平行四邊形，則M為OC中點，聯(lián)立直線l的方程和橢圓方程求得C的坐標，由中點坐標公式得到M的坐標，由坐標相等求得k的值．

解答： （Ⅰ）解：由題意可知e=

c

a

=

3

2

，c=

3

，于是a=2，
∴b2=a2-c2=22-(

3

)2=1．
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₁），M（x₀，y₀），
由

y=k(x+ 3 ) x2 4 +y2=1

，即(4k2+1)x2+8

3

k2x+12k2-4=0．
x1+x2=

-8 3 k2

4k2+1

，x0=

x1+x2

2

=

-4 3 k2

4k2+1

，y0=k(x0+

3

)=

3 k

4k2+1

，
于是M(

-4 3 k2

4k2+1

，

3 k

4k2+1

)．
∵

-4 3 k2

4k2+1

+4k•

3 k

4k2+1

=0，
∴M在直線l上；
（Ⅲ）設存在這樣的平行四邊形，則M為OC中點，
設點C的坐標為（x₃，y₃），則y0=

y3

2

．
∵

x=-4ky x2 4 +y2=1

，解得y3=±

1

4k2+1

．
于是

1

2 4k2+1

=

3 |k|

4k2+1

，解得k2=

1

8

，即k=±

2

4

．
∴當k=±

2

4

時四邊形AOBC的對角線互相平分，即當k=±

2

4

時四邊形AOBC是平行四邊形．

點評：本題主要考查橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系求解是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．