Question

11．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用積化和差和和差化積公式將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，由此來求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（2）利用（1）中的結(jié)果和正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin²x-cos²x
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
由2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z得，x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴對稱軸方程為x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z；
（2）∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，
∴$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}]$．
∵f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時，f（x）_max=1．
又∵$f（-\frac{π}{6}）=-1＜f（\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)x=-$\frac{π}{6}$時，f（x）_min=-1．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．