已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，點A，F(xiàn)分別是橢圓C的左頂點和左焦點，點P是圓O：x2+y2=b2上的動點．若
PA
PF
是常數(shù)，則橢圓C的離心率是
5
-1
2
5
-1
2
．
分析：設(shè)F（c，0），由c2=a2-b2可求c，P（x1，y1），要使得
PA
PF
是常數(shù)，則有（x1+a）2+y12=λ[（x1+c）2+y12]比較兩邊可得c，a的關(guān)系，結(jié)合橢圓的離心率的范圍可求．
解答：解：設(shè)F（c，0），c2=a2-b2，A（-a，0），F(xiàn)（-c，0），P（x1，y1），使得
PA
PF
是常數(shù)，
設(shè)
PA
PF
=
λ
，則有（x1+a）2+y12=λ[（c+x1）2+y12]（x，λ是常數(shù)）
即b2+2ax1+a2=λ（b2+2cx1+c2），
比較兩邊，b2+a2=λ（b2+c2），a=λc，
故cb2+ca2=a（b2+c2），即ca2-c3+ca2=a3，
即e3-2e+1=0，
∴（e-1）（e2+e-1）=0，
∴e=1或e=
-1±
5
2

∵0＜e＜1，∴e=
5
-1
2

故答案為：
5
-1
2
．
點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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