Question

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF 平面EFDC．

(Ⅰ) 當(dāng)，是否在折疊后的AD上存在一點(diǎn)，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；

(Ⅱ) 設(shè)BE＝x，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐ACDF的體積有最大值？并求出這個(gè)最大值．

 

Answer 1

【解析】

(Ⅰ)假設(shè)存在使得滿足條件CP∥平面ABEF

在平面ＥＦＤＣ內(nèi)過(guò)點(diǎn)Ｃ作ＣＭ∥ＥＦ交ＤＦ于Ｍ，在平面ＡＤＦ內(nèi)作直線ＭＰ∥ＡF交ＡＤ于點(diǎn)Ｐ，連ＰＣ　　　　　　　　　　　　　　

∵ＣＭ∥ＥＦ，EＦ平面ＡＢEF，ＣＭ平面ＡＢEF

∴ＣＭ∥平面ＡＢEF　　　　　　　　　　　　　　　　

∵ＰＭ∥ＡＦ，ＡＦ平面ＡＢEF，ＰＭ平面ＡＢEF

∴ＰＭ∥平面ＡＢEF　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵ＣＭＰＭ＝Ｍ

∴平面ＡＢＥＦ∥平面PCＭ　　　　　　　　　　　　　

又∵ＰＣ平面ＰＣＭ

∴ＰＣ∥平面ＡＢEF，故點(diǎn)Ｐ就是所求的點(diǎn)　　

又∵ＦＭ＝4，ＭＤ＝2

∴　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)因?yàn)槠矫?i>ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC＝EF，又AFEF，

所以AF⊥平面EFDC　　　　　　　　　　　　

由已知BE＝x，所以AF＝x　()，則FD＝8x．

∴　　　　　　　　　　

故　

當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝4時(shí)，等號(hào)成立　　　　　

所以，當(dāng)x＝4時(shí)，有最大值，最大值為　

解法二：

故

所以，當(dāng)x＝4時(shí)，有最大值，最大值為