Question

如圖，橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，離心率e＝.過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線l：y＝kx＋m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x＝4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）＝1（2）存在定點(diǎn)M(1，0)，

學(xué)生錯(cuò)解：解：(1)略
(2)由消去y得(4k²＋3)x²＋8kmx＋4m²－12＝0.
因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x₀，y₀)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k²m²－4(4k²＋3)(4m²－12)＝0，化簡(jiǎn)得4k²－m²＋3＝0.(*)
此時(shí)x₀＝－＝－，y₀＝kx₀＋m＝，所以P.
由得Q(4，4k＋m)．
假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上．
設(shè)M(x_1，0)，則·＝0對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042015950479.png" style="vertical-align:middle;" />＝，＝(4－x_1，4k＋m)，
由·＝0，得－－4x₁＋＋＋3＝0，
整理，得(4x₁－4)＋－4x₁＋3＝0.(**)，方程無解．
故不存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.
審題引導(dǎo)：(1)建立方程組求解參數(shù)a，b，c；(2)恒成立問題的求解；(3)探索性問題的一般解題思路．
規(guī)范解答：解：(1)因?yàn)锳B＋AF₂＋BF₂＝8，
即AF₁＋F₁B＋AF₂＋BF₂＝8，(1分)
又AF₁＋AF₂＝BF₁＋BF₂＝2a，(2分)
所以4a＝8，a＝2.又因?yàn)閑＝，即＝，所以c＝1，(3分)
所以b＝＝.故橢圓E的方程是＝1.(4分)
(2)由消去y得(4k²＋3)x²＋8kmx＋4m²－12＝0.(5分)
因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x₀，y₀)，所以m≠0且Δ＝0，(6分)
即64k²m²－4(4k²＋3)(4m²－12)＝0，化簡(jiǎn)得4k²－m²＋3＝0.(*)(7分)
此時(shí)x₀＝－＝－，y₀＝kx₀＋m＝，所以P.(8分)
由得Q(4，4k＋m)．(9分)
假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)M必在x軸上．(10分)
設(shè)M(x_1，0)，則·＝0對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042015950479.png" style="vertical-align:middle;" />＝，＝(4－x_1，4k＋m)，
由·＝0，得－－4x₁＋＋＋3＝0，
整理，得(4x₁－4)＋－4x₁＋3＝0.(**)(12分)
由于(**)式對(duì)滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x₁＝1.(13分)
故存在定點(diǎn)M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.(14分)
錯(cuò)因分析：本題易錯(cuò)之處是忽視定義的應(yīng)用；在處理第(2)問時(shí)，不清楚圓的對(duì)稱性，從而不能判斷出點(diǎn)M必在x軸上．同時(shí)不會(huì)利用恒成立求解．