Question

求證：一元二次方程2x²＋3x－7＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

思考：

本題還有其他解法嗎？

Answer 1

答案：
解析：

分析：求證一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可以利用判別式Δ＝b2－4ac，證明Δ＞0，也可以轉(zhuǎn)化為證明對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)．所以這個(gè)例題最少有這兩種方法． 　　證法1： 　　∵Δ＝32－4×2×(－7)＝65＞0， 　　∴方程2x2＋3x－7＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 　　證法2： 　　設(shè)f(x)＝2x2＋3x－7， 　　這是一個(gè)二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a＝2，所以它的圖象是一條開口向上的拋物線，又因?yàn)楫?dāng)x＝－時(shí)，y有最小值，且ymin＝＝＜0．作出其圖象(如圖)，頂點(diǎn)在x軸下方． 　　所以函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－7的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程2x2＋3x－7＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 　　證法2的思想是這樣的：根據(jù)一元二次方程實(shí)數(shù)根與二次函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，也就是說(shuō)拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．由于拋物線開口向上，所以只要頂點(diǎn)在x軸下方即可．進(jìn)一步考慮，我們能不能不求頂點(diǎn)，而在x軸下方尋找拋物線上除頂點(diǎn)外的其他點(diǎn)呢？當(dāng)然這個(gè)點(diǎn)的確定應(yīng)該使計(jì)算越簡(jiǎn)單越好．這時(shí)教師應(yīng)點(diǎn)到為止，徹底放手讓學(xué)生自己尋找需要的點(diǎn)，直到找到的點(diǎn)計(jì)算最方便，大家都滿意為止，師生共同討論，得到證法3． 　　證法3： 　　設(shè)f(x)＝2x2＋3x－7，作出示意圖，(上圖) 　　這個(gè)函數(shù)的圖象是一條開口向上的拋物線，又因?yàn)閒(0)＝2×02－3×0－7＝－7＜0，即函數(shù)的圖象過x軸下方的點(diǎn)(0，－7)，所以函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－7的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程2x2＋3x－7＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 　　點(diǎn)評(píng)：對(duì)于證法1，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中就有接觸且研究較深，因而學(xué)生不難解決．通過前面的分析，學(xué)生也容易聯(lián)想到證法2，即把一元二次方程實(shí)數(shù)根的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)問題．但是在具體求解的過程中，由于拋物線開口向上，學(xué)生往往首先想到的是看頂點(diǎn)是不是在x軸下方，而不是找其他點(diǎn)，于是就有了證法3．這時(shí)教師一方面要對(duì)這種思路表示肯定，同時(shí)又要稍加引導(dǎo)．