Question

已知一次函數f（x）=kx+b的圖象經過點（3，1），且g（x）=x•f（x）圖象關于直線x=1對稱．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若x₀滿足g(x0)+

1

2

＜0，試判斷g（x₀+2）的符號．

Answer 1

分析：（1）根據一次函數f（x）=kx+b的圖象經過點（3，1）可求出b與k的關系，根據g（x）=x•f（x）圖象關于直線x=1對稱可求出k與b的值；
（2）先求出g（x）的解析式，然后根據g(x0)+

1

2

＜0得x02-2x0+

1

2

＜0，從而可判斷g（x₀+2）的符號．

解答：解（1）由已知3k+b=1…（4分）
∴b=1-3k（k≠0），∴f（x）=kx+1-3k，g（x）=kx²+（1-3k）x．
∵g（x）=x•f（x）圖象關于直線x=1對稱，
∴-

1-3k

2k

=1，…（7分）
∴k=1．∴f（x）=x-2．…（8分）
（2）由（1）g（x）=x²-2x，g(x0)+

1

2

＜0，即x02-2x0+

1

2

＜0…（12分）
所以2x0＞x02+

1

2

．
而g(x0+2)=(x0+2)2-2(x0+2)=x02+2x0＞x02+x02+

1

2

＞0．
即g（x₀+2）的符號為正號．…（14分）
注：（2）若由g(x0)+

1

2

=0得x0=

2± 3

2

給（4分），猜想出為正給（2分），其他方法相應給分．

點評：本題主要考查了二次函數的對稱軸，以及函數值符號的判定，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．