Question

1．邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在棱DD₁上運(yùn)動(dòng)，Q在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，但PQ為定長(zhǎng)b（a＜b＜$\sqrt{3}$a），R為PQ的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)R的軌跡在正方體內(nèi)的面積是（　　）

• A． $\frac{π^{2}}{2}$
• B． $\frac{π^{2}}{4}$
• C． $\frac{π^{2}}{8}$
• D． $\frac{π^{2}}{16}$

Answer 1

分析 本題是動(dòng)點(diǎn)問題，P在棱DD₁上運(yùn)動(dòng)，Q在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，可以看成是以D為球心，PQ為定長(zhǎng)b（a＜b＜$\sqrt{3}$a），R為PQ的中點(diǎn)，剛好形成為$\frac{2}$半徑的球面．從而得到動(dòng)點(diǎn)R的軌跡在正方體內(nèi)的面積

解答 解：∵P在棱DD₁上運(yùn)動(dòng)，Q在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，R為PQ的中點(diǎn)，軌跡形成半球面，可以看成是以D為球心，$\frac{2}$半徑的球面剛好在正方體內(nèi)．
∴面積為$\frac{1}{2}×π×（\frac{2}）^{2}=\frac{π^{2}}{8}$
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題，P在棱DD₁上運(yùn)動(dòng)，Q在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，R為PQ的中點(diǎn)，軌跡是什么樣子的圖形，采用作圖法，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)形成剛好是球面．考查空間想象能力和作圖能力相結(jié)合．屬于中檔題．