Question

（2013•綿陽(yáng)一模）已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列且a₃=

1

4

，a₆=2．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{a_n}滿足b_n=3log₂a_n，且數(shù)列{b_n}的前“項(xiàng)和為T_n，問(wèn)當(dāng)n為何值時(shí)，T_n取最小值，并求出該最小值．

Answer 1

分析：（I）由已知中數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列且a₃=

1

4

，a₆=2．求出數(shù)列的公比，易得數(shù)列的通項(xiàng)
（II）根據(jù)（I）及b_n=3log₂a_n，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，及n∈N⁺，可求出當(dāng)n為何值時(shí)，T_n取最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)公比為q，由已知a₆=2，a₃=

1

4

，得a₁q⁵=2，a₁q²=

1

4

，
兩式相除得q³=8，解得q=2，a₁=

1

16

，
∴a_n=

1

16

×2^n-1=2^n-5
（Ⅱ）b_n=3log₂a_n=3log₂（2^n-5）=3n-15，
∴T_n=

3

2

n2-

27

2

n，
又∵n∈N⁺
當(dāng)n=4或5時(shí)，T_n取得最小值，最小值為-30

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列求和，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中分別求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式是解答的關(guān)鍵．