Question

【題目】某地擬規(guī)劃種植一批芍藥，為了美觀，將種植區(qū)域（區(qū)域I）設計成半徑為1km的扇形，中心角（）.為方便觀賞，增加收入，在種植區(qū)域外圍規(guī)劃觀賞區(qū)（區(qū)域II）和休閑區(qū)（區(qū)域III），并將外圍區(qū)域按如圖所示的方案擴建成正方形，其中點，分別在邊和上．已知種植區(qū)、觀賞區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是10萬元、20萬元、20萬元.

（1）要使觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，求的最大值；

（2）試問：當為多少時，年總收入最大？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由，，，所以與全等.

可得，根據面積公式，可求得觀賞區(qū)的面積為，要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，則要求，解不等式即可求出結果.

（2）由題意可得種植區(qū)的面積為，正方形面積為，設年總收入為萬元，則

，利用導數在函數單調性中的應用，即可求出結果.

（1）∵，，，所以與全等.

所以，觀賞區(qū)的面積為

，要使得觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元，則要求，即，結合可知，則的最大值為.

（2）種植區(qū)的面積為，

正方形面積為，

設年總收入為萬元，則

，

其中，求導可得.

當時，，遞增；當時，，遞增.

所以當時，取得最大值，此時年總收入最大.