Question

若關(guān)于x的方程|2^x-1|+

2k+1

|2x-1|

=3k+2有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將問題轉(zhuǎn)化為求方程t²-（3k+2）t+（2k+1）=0在（0，+∞）有2個交點，方程：t²+（3k+2）t+（2k+1）=0在（-1，0）有1個交點的問題．

解答： 解：設(shè)2^x-1=t，則t＞-1，且t≠0，
∴|t|+

2k+1

|t|

=3k+2，
當(dāng)t＞0時，方程可化為：t²-（3k+2）t+（2k+1）=0，
設(shè)方程的兩個根為：x₁，x₂，
由題意得

x1+x2＞0 x1x2＞0

，即

3k+2＞0 2k+1＞0

，解得：k＞-

1

2

①，
當(dāng)-1＜t＜0時，方程可化為：t²+（3k+2）t+（2k+1）=0，
設(shè)f（t）=t²+（3k+2）t+（2k+1），
只需對稱軸x=-

3k+2

2

＜-1，f（1）＜0，f（0）＞0即可，
∴由題意得：

- 3k+2 2 ＜-1 1-(3k+2)+(2k+1)＜0

，解得：k＞0②，
綜合①∩②得：k＞0，
故答案為：k＞0．

點評：本題考查了方程的根的問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了分類討論思想，是一道中檔題．