Question

12．已知函數(shù)f（x）=|mx-2|-|mx+1|（m∈R）．
（1）當(dāng)m=1時，解不等式f（x）≤1；
（2）若對任意實數(shù)m，f（x）的最大值恒為n，求證：對任意正數(shù)a，b，c，當(dāng)a+b+c=n時，$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤n．

Answer 1

分析 （1）分類討論，解不等式，即可得出結(jié)論；
（2）由絕對值不等式可得f（x）的最大值為3，再利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)m=1時，f（x）=|x-2|-|x+1|．
x＜-1時，f（x）=3，不符合題意；
-1≤x＜2時，f（x）=-2x+1≤1，可得0≤x＜2；
x≥2時，f（x）=-3≤1，符合題意；
∴不等式f（x）≤1的解集為[0，+∞）；
證明：（2）由絕對值不等式可得|mx-2|-|mx+1|≤|mx-2-mx-1|=3，
∴f（x）的最大值為3，
∴n=3，a+b+c=3，
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤$\frac{1+a}{2}$+$\frac{1+b}{2}$+$\frac{1+c}{2}$=3（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時等號成立）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．