Question

若 P為橢圓上任意一點，F(xiàn)₁、F₂為左、右焦點，如圖所示．
（1）若PF₁的中點為M，求證：；
（2）若，求|PF₁|•|PF₂|之值；
（3）橢圓上是否存在點P，使，若存在，求出P點的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由．

Answer 1

證明：（1）在△F₁PF₂中，MO為中位線，
∴|MO|==
=a-=5-|PF₁|…．（3分）
（2）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，
在△PF₁F₂中，cos 60°=，
∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，
∴|PF₁|•|PF₂|=．…（8分）
（3）解：設(shè)點P（x₀，y₀），則 ．①
易知F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），故=（-3-x₀，-y₀），=（3-x₀，-y₀），
∵=0，
∴x-9+y=0，②
由①②組成方程組，此方程組無解，故這樣的點P不存在． …（12分）
分析：（1）在△F₁PF₂中，MO為中位線，根據(jù)三角形的中位線定理再結(jié)合橢圓的定義即可得出答案；
（2）先利用橢圓的定義得到：|PF₁|+|PF₂|=10，再在△PF₁F₂中利用余弦定理得出cos 60°=，兩者結(jié)合即可求得|PF₁|•|PF₂|；
（3）先設(shè)點P（x₀，y₀），根據(jù)橢圓的性質(zhì)，易知F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），寫出向量的坐標(biāo)再結(jié)合向量垂直的條件得出關(guān)于P點坐標(biāo)的方程組，由此方程組無解，故這樣的點P不存在．
點評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．