Question

直角坐標系下，O為坐標原點，定點E（4，0），動點M（x，y）滿足

MO

•

ME

=x²．
（Ⅰ）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過定點F（1，0）作互相垂直的直線l₁，l₂分別交軌跡C于點M，N和點R，Q，求四邊形MRNQ面積的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由題意：動點M（x，y）滿足

MO

•

ME

=x²，
∴（-x，-y）•（4-x，-y）=x²，即y²=4x為點M的軌跡方程．…（4分）
（Ⅱ）由題易知直線l₁，l₂的斜率都存在，且不為0，不妨設(shè)MN方程為y=k（x-1）
與y²=4x聯(lián)立得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

2k2+4

k2

由拋物線定義知：|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=

4(k2+1)

k2

…（7分）
同理RQ的方程為y=-

1

k

(x-1)，求得|RQ|=4（k²+1）．…（9分）
∴SMRNQ=

1

2

|MN|•|RQ|=8

(k2+1)2

k2

=8(k2+

1

k2

+2)≥32．  …（13分）
當且僅當k²=1，k=±1時取“=”，
故四邊形MRNQ的面積的最小值為32．…（15分）