Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx-1
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，得出其極值點(diǎn)，列出其表格，進(jìn)而得出其單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在（2，4）上是減函數(shù)?f^′（x）在區(qū)間（2，4）恒成立，通過分離參數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最值即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx-1，其定義域?yàn)椋?，+∞）．
∴f′(x)=-2x+a-

1

x

，當(dāng)a=3時(shí)，f′(x)=-2x+3-

1

x

=-

2x2-3x+1

x

；
令f^′（x）=0，解得x=

1

2

或1．
如下表：
由表格可知：在區(qū)間（0，

1

2

），（1，+∞）上f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
在區(qū)間（

1

2

，1）上f′（x）＞0．函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，則f′(x)=-2x+a-

1

x

≤0，在x∈（2，4）上恒成立．
-2x+a-

1

x

≤0?2x+

1

x

≥a在x∈(2，4)上恒成立．
令g（x）=2x+

1

x

，則g′(x)=2-

1

x2

=

2x2-1

x2

≥0，在（2，4）上恒成立，
∴g（x）在（2，4）上單調(diào)遞增，∴g（x）＞g(2)=2×2+

1

2

=

9

2

．
因此實(shí)數(shù)a的取值范圍a∈(-∞，

9

2

]．

點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值是解題的關(guān)鍵．分離參數(shù)法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法必須掌握．