Question

12．設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=（n+1）log₂a_n+1．證明：$\frac{1}{b_1}$++…+$\frac{1}{{{b_{n-1}}}}$+$\frac{1}{b_n}$＜1．

Answer 1

分析 （1）通過聯(lián)立S₃=7=a₁+a₂+a₃與a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，可求出公比q，進(jìn)而代入S₃=7可求出首項(xiàng)，進(jìn)而整理即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知$\frac{1}{b_n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加、放縮即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，S₃=7=a₁+a₂+a₃，
又∵a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，
∴6a₂=a₁+3+a₃+4=a₁+a₃+（a₁+a₂+a₃），即5a₂=2a₁+2a₃，
記數(shù)列{a_n}的公比為q，則5a₁q=2a₁+2a₁q²，
∴2q²-5q+2=0，即（2q-1）（q-2）=0，解得：q=2或q=$\frac{1}{2}$（舍），
又∴S₃=7=a₁（1+2+4），即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1；
（2）證明：由（1）可知b_n=（n+1）log₂a_n+1=n（n+1），
∵$\frac{1}{b_n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…\frac{1}{{{b_{n-1}}}}+\frac{1}{b_n}=1-\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}＜1$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運(yùn)算求解能力及裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．