(2012•佛山二模)設曲線C:x2-y2=1上的點P到點An(0,an)的距離的最小值為dn,若a0=0,an=
2
dn-1
,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求證:
a1
a3
+
a3
a5
+…+
a2n-1
a2n+1
a2
a4
+
a4
a6
+…+
a2n
a2n+2
;
(Ⅲ)是否存在常數(shù)M,使得對?n∈N*,都有不等式:
1
a
3
1
+
1
a
3
2
+…+
1
a
3
n
<M
成立?請說明理由.
分析:(Ⅰ)根據(jù)曲線C:x2-y2=1上的點P到點An(0,an)的距離的最小值為dn,設點P(x,y),利用兩點間的距離公式,再采用配方法可得,再根據(jù)an=
2
dn-1
,可得
1
2
an+1=
2+
a
2
n
2
,從而可得
a
2
n+1
-
a
2
n
=2
,從而數(shù)列{
a
2
n
}
是首項
a
2
1
=2
,公差為2的等差數(shù)列,進而可求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)先判斷a2n+2a2n-1<a2n+1a2n,從而有
a2n-1
a2n+1
a2n
a2n+2
,所以
a1
a3
a2
a4
a3
a5
a4
a6
,…,
a2n-1
a2n+1
a2n
a2n+2
,疊加可得結論;
(Ⅲ)先證明
1
k3
1
k-1
-
1
k+1
,從而可得
n
k=2
1
k3
n
k=2
(
1
k-1
-
1
k+1
)=1+
1
2
-
1
k
-
1
k+1
<1+
1
2
,進而可知存在常數(shù)M=
1
4
+
2
2
,對?n∈N*,都有不等式:
1
a
3
1
+
1
a
3
2
+…+
1
a
3
n
<M
成立.
解答:(Ⅰ)解:設點P(x,y),則x2-y2=1,所以|PAn|=
x2+(y-an)2
=
2(y-
an
2
)
2
+
2+
a
2
n
2

因為y∈R,所以當y=
an
2
時,|PAn|取得最小值dn,且dn=
2+
a
2
n
2

an=
2
dn-1
,所以an+1=
2
dn
,即dn=
1
2
an+1

dn=
1
2
an+1
代入dn=
2+
a
2
n
2
1
2
an+1=
2+
a
2
n
2

兩邊平方得
a
2
n+1
-
a
2
n
=2
,又a0=0,
a
2
1
=2

故數(shù)列{
a
2
n
}
是首項
a
2
1
=2
,公差為2的等差數(shù)列,所以
a
2
n
=2n

因為an=
2
dn-1
>0,所以
a
 
n
=
2n
.…(6分)
(Ⅱ)證明:因為(2n+2)(2n-1)-2n(2n+1)=-2<0,
所以(2n+2)(2n-1)<2n(2n+1)
所以
(2n+2)(2n-1)
2n(2n+1)
,所以a2n+2a2n-1<a2n+1a2n
所以
a2n-1
a2n+1
a2n
a2n+2
,所以
a1
a3
a2
a4
a3
a5
a4
a6
,…,
a2n-1
a2n+1
a2n
a2n+2

以上n個不等式相加得
a1
a3
+
a3
a5
+…+
a2n-1
a2n+1
a2
a4
+
a4
a6
+…+
a2n
a2n+2
.…(10分)
(Ⅲ)解:因為
1
a
3
k
=
1
2
2
k3
,當k≥2時,
1
k3
1
(k2-1)k
=
1
(k-1)k(k+1)
=
1
(k-1)(k+1)
1
k
,
因為
1
k
=
2
2
k
2
k-1
+
k+1
=
k+1
-
k-1
,
所以
1
(k-1)(k+1)
1
k
1
(k-1)(k+1)
(
k+1
-
k-1
)=
1
k-1
-
1
k+1

所以
1
k3
1
k-1
-
1
k+1
,
n
k=2
1
k3
n
k=2
(
1
k-1
-
1
k+1
)=1+
1
2
-
1
k
-
1
k+1
<1+
1
2

所以
n
i=1
1
a
3
i
=
1
2
2
+
1
2
2
n
k=2
1
k3
1
2
2
+
    1
    2
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    0,x∉M
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    fA(x)+fB(x)+1
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    e
    e

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