Question

（本小題滿分16分）

已知函數(shù)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.若

 (Ⅰ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；     

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對(duì)任意自然數(shù)均有，求 的值；

(Ⅲ)試比較與的大小.

Answer 1

已知函數(shù)，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q

（）的等比數(shù)列.若

(Ⅰ)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；     

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對(duì)任意自然數(shù)n均有，求 的值；

(Ⅲ)試比較與的大小.

(Ⅰ) ∵ ， ∴ .

即 ， 解得 d =2.

∴ .  ∴ . ………………………………… 2分

∵ , ∴ .

∵ ,  ∴ .

又， ∴ .………………………………………… 4分

(Ⅱ) 由題設(shè)知 ， ∴.

     當(dāng)時(shí), ,

  ,

     兩式相減,得.

     ∴  (適合).…………………………… 7分

     設(shè)T=,

∴

兩式相減 ,得

             

              .

              ∴ .…………………………………………………10分

(Ⅲ) ,   .

         現(xiàn)只須比較與的大小.

         當(dāng)n=1時(shí), ；

         當(dāng)n=2時(shí), ；

         當(dāng)n=3時(shí), ；

         當(dāng)n=4時(shí), .

         猜想時(shí)，.   ………………………………13分            

         用數(shù)學(xué)歸納法證明

         (1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊，右邊，成立.

         (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí), 不等式成立，即.

            當(dāng)n=k+1時(shí),

.

             即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

             由（1）（2），可知時(shí)，都成立.

             所以 （當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時(shí)，等號(hào)成立）

             所以.即. …………… …… 16分