Question

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2.

(ⅰ)利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；

(ⅱ)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用(ⅰ)的結(jié)果，求E(X).

附： ≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.

Answer 1

【答案】（1）150（2）(ⅰ) 0.6826. (ⅱ) 68.26.

【解析】試題分析：

(1)利用題中所給的數(shù)據(jù)可得平均數(shù) ，方差 ；

(2)利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可得：P(187.8<Z<212.2)＝0.6826.

(3)利用(i)的結(jié)論結(jié)合題意可得 .

試題解析：

(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x－和樣本方差s2分別為

＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200，150)，從而

P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.

(ⅱ)由(ⅰ)知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的概率為0.682 6，依題意知X～B(100，0.6826)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.