Question

已知函數(shù)，。

（1）若對任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)與的圖象在x = x₀處的切線斜率總想等，求x₀的值；

（2）若a > 0，對任意x > 0不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）a-1（2）

【解析】

試題分析：解：(Ⅰ)恒成立，恒成立即.  

方法一：恒成立，則

而當(dāng)時(shí)，

則，，在單調(diào)遞增，

當(dāng)，， 在單調(diào)遞減，

則，符合題意.

即恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為；

方法二：，

(1)當(dāng)時(shí)，，，，在單調(diào)遞減，

當(dāng)，，在單調(diào)遞增，

則，不符題意；

(2)當(dāng)時(shí)，，

①若，，，，單調(diào)遞減；當(dāng)，， 單調(diào)遞增，則，矛盾，不符題意；

②若，

（Ⅰ）若，；；

，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，不符合題意；

（Ⅱ）若時(shí)，，，在單調(diào)遞減，，不符合題意.

（Ⅲ）若，，，，，，，， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，與已知矛盾不符題意.

（Ⅳ）若，，，，在單調(diào)遞增；

當(dāng)，， 在單調(diào)遞減，

則，符合題意；

綜上，得恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為

(Ⅱ) 由(I)知，當(dāng)時(shí)，有，；于是有 ，.

則當(dāng)時(shí)，有

在上式中，用代換，可得

相乘得

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是借助于導(dǎo)數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的最值，進(jìn)而證明不等式，屬于基礎(chǔ)題。