如圖，多面體OABCD，AB=CD=2，AD=BC=2
3
，AC=BD=
10
，且OA，OB，OC兩兩垂直，給出下列4個結(jié)論：
①三棱錐O-ABC的體積是定值；
②直線AD與OB所成的角是60°；
③球面經(jīng)過點A、B、C、D兩點的球的直徑是
13
；
④直線OB∥平面ACD．
其中正確的結(jié)論是
 
．
考點：命題的真假判斷與應用
專題：計算題,空間位置關系與距離,空間角
分析：構(gòu)造長方體，設OA=x，OB=y，OC=z，則x2+y2=4，x2+z2=10，y2+z2=12，解得，x=1，y=
3
，z=3，運用棱錐的體積公式，即可判斷①；運用異面直線所成角的定義，即可判斷②；球面經(jīng)過點A、B、C、D兩點的球的直徑即為長方體的對角線長，即可判斷③；由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，即可判斷④．
解答： 解：構(gòu)造長方體，如右圖，設OA=x，OB=y，OC=z，
則x2+y2=4，x2+z2=10，y2+z2=12，解得，x=1，y=
3
，z=3，
對于①，三棱錐O-ABC的體積為
1
3
OC•S△OAB=
1
3
×3×
1
2
×1×
3
=
3
2
，故①對；
對于②，由于OB∥AE，則∠DAE即為直線AD與OB所成的角，
由tan∠DAE=
3
3
，則∠DAE=60°，故②對；
對于③，球面經(jīng)過點A、B、C、D兩點的球的直徑即為長方體的對角線長，
即為
12+(
3
)2+32
=
13
，故③對；
對于④，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，則OB和平面ACD相交，故D錯．
故答案為：①②③
點評：本題考查線面的位置關系的判斷，空間異面直線所成的角，以及三棱錐的體積的計算和多面體的外接球的關系，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題p：x2+2x-3＞0；命題q：x＞a，且￢q的一個充分不必要條件是￢p，則a的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，1]
B、[1，+∞）
C、[-1，+∞）
D、（-∞，-3]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合P={x|x（x-3）＜0}，Q={x|-2＜x＜2}，則P∩Q=（　�。�
A、（-2，0）
B、（2，3）
C、（0，2）
D、（-2，3）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題正確的是
 
（寫序號）
①命題“?x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“?x∈R，x2+1≤3x；
②函數(shù) f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期為“π”是“a=1”的必要不充分條件；
③x2+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；
④”平面向量
a
與
b
的夾角是鈍角“的充分必要條件是“
a
•
b
＜0”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，2AB=3CD，M為AE中點，設E-ABCD的體積為V，那么三棱錐M-EBC的體積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M={3，2a}，N={a，b}，若M∩N={4}，則M∪N=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出數(shù)陣如下，則該數(shù)陣的行列式的值為（　�。�
A、495B、900
C、1000D、1100

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x2-3x+3）•ex的定義域為[-2，t]，設f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）求證：m＜n；
（3）求證：對于任意的t＞-2，總存在x0∈（-2，t），滿足
f′(x0)
ex0
=
2
3
（t-1）2；又若方程
f′(x0)
ex0
=
2
3
（t-1）2；在（-2，t）上有唯一解，請確定t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有2人從一座n層大樓的底層進入電梯，設他們中的每一個人的第二層開始在每一層離開時等可能的，若2人在不同層離開的概率為
8
9
，則n=
 
．

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