如圖, 已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

（1）求證：AG平面BDE;
（2）求：二面角GDEB的余弦值.
（1）見解析（2）

試題分析：（1）由題設(shè)，平面ABCD⊥平面BCEG，可證 兩兩垂直，據(jù)此建設(shè)立以 為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，寫出 諸點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面 的一個(gè)法向量 ，由于，要證AG平面BDE，只要證即可；
（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為 ，由求出的坐標(biāo)，最后利用向量 求出二面角GDEB的余弦值.
試題解析：
解：由平面，平面
,
平面BCEG, ，
由平面，知，.2分
根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得
.3分

（1）設(shè)平面BDE的法向量為，則
即 ， ，
平面BDE的一個(gè)法向量為..5分
 ，，
，∴AG∥平面BDE. .7分
（2）由（1）知
設(shè)平面EDG的法向量為，則 即
平面EDG的一個(gè)法向量為..9分
又平面BDE的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的大小為，則，
二面角的余弦值為.12分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，且PC⊥平面ABCD，PC＝AC＝2,E是PA的中點(diǎn)。
(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)若直線PA與平面PBC所成角為30°，求二面角P-AD-C的正切值；
(3)求證：直線PA與平面PBD所成的角φ為定值，并求sinφ值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，E是PA的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面EBD；
（2）若PA=AB=2，直線PB與平面EBD所成角的正弦值為，求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，于，延長(zhǎng)AE交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示.

（1）求證：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A–DC–B的余弦值．
（3）在線段上是否存在點(diǎn)使得平面？若存在,請(qǐng)指明點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，，
且．將此平面四邊形沿折成直二面角，
連接，設(shè)中點(diǎn)為．

（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．

（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q—BP—C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，，，面，設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且．

（1）求證：平面；
（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．

求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若直線l⊥平面α,直線l的方向向量為s,平面α的法向量為n,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．s=(1,0,1),n=(1,0,-1)
B．s=(1,1,1),n=(1,1,-2)
C．s=(2,1,1),n=(-4,-2,-2)
D．s=(1,3,1),n=(2,0,-1)

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