Question

f（x）=lnx-ax²，x∈（0，1]
（1）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，求a范圍；
（2）求f（x）在區(qū)間（0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，說明其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（0，1]上大于等于0恒成立，分離變量后得a≤

1

2x2

恒成立，然后運用求函數(shù)最值知識求解；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后討論a的符號，當(dāng)a≤0時，導(dǎo)函數(shù)恒，大于0，原函數(shù)單調(diào)遞增，直接求函數(shù)的最大值，當(dāng)a＞0時，求出函數(shù)的增減區(qū)間，找到極大值點，此時的極大值也就是最大值．

解答：解：（1）∵y=f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，所以f'（x）≥0在（0，1]上恒成立，
由f（x）=lnx-ax²，則f′(x)=

1

x

-2ax，即

1

x

-2ax≥0在（0，1]上恒成立，所以a≤

1

2x2

恒成立，
因為x∈（0，1]，所以

1

2x2

≥

1

2

，
所以得a≤

1

2

；
（2）f′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

若a≤0時，f′(x)=

1-2ax2

x

＞0
所以y=f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）_max=f（1）=ln1-a=-a，
若a＞0，f′(x)=

-2a(x2- 1 2a )

x

=

-2a(x- 1 2a )(x+ 1 2a )

x

所以y=f（x）在（0，

1 2a

）上單調(diào)遞增，在（

1 2a

，+∞）上單調(diào)遞減，
①當(dāng)

1 2a

≥1，即0＜a≤

1

2

時，f（x）_max=f（1）=-a
②當(dāng)

1 2a

＜1，即a＞

1

2

時，f(x)max=f(

1 2a

)=ln

1 2a

-

1

2

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．