Question

16．已知點(diǎn)A（0，3），B（1，0），C（3，m），P為線段AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，l與以C為圓心、以$\frac{\sqrt{10}}{3}$為半徑的圓交于兩點(diǎn)M、N，若M恰為線段PN中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[2，\sqrt{6}]$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖象，考慮兩種極端情況：當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)，分別由條件、圖象、兩點(diǎn)之間的距離公式列出不等式，利用求出m的取值范圍．

解答 解：由題意畫出圖象：
考慮兩種極端情況：
當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AC與圓相交于M、N兩點(diǎn)，
只要|MN|＞|AM|時(shí)，適當(dāng)繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)總有一個(gè)位置滿足
|MN|=|AM|，
故|MN|＞|AM|，即3r≥|AC|，
可得$\sqrt{10}≥\sqrt{{3}^{2}+（3-m）^{2}}$，化簡(jiǎn)得2≤m≤4；
當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)時(shí)，同理可得3r≥|BC|，
可得$\sqrt{10}≥\sqrt{{2}^{2}+{m}^{2}}$，化簡(jiǎn)得$-\sqrt{6}$≤m≤$\sqrt{6}$，
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[2，\sqrt{6}]$，
故答案為：$[2，\sqrt{6}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的文職關(guān)系，兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了分析、解決問(wèn)題的能力，以及數(shù)形結(jié)合思想．