Question

（1）求點P（1，2）關于直線x-y-1=0的對稱點Q的坐標；
（2）求直線x+3y-1=0關于x-y+1=0的對稱直線的方程．

Answer 1

考點：與直線關于點、直線對稱的直線方程

專題：直線與圓

分析：（1）設點P（1，2）關于直線x-y-1=0的對稱點Q的坐標為（x₀，y₀），PQ的中點M（

1+x0

2

，

2+y0

2

）在直線x-y-1=0上，設直線PQ的斜率為k，列方程組即可解得點Q的坐標；
（2）依題意，可求得直線x+3y-1=0與直線x-y+1=0的交點P的坐標，在直線直線x+3y-1=0上取一點A（1，0），則同理可求點A（1，0）關于直線x-y+1=0的對稱點B的坐標，利用點斜式即可求得答案．

解答： 解：（1）設點P（1，2）關于直線x-y-1=0的對稱點Q的坐標為（x₀，y₀），
則PQ的中點M（

1+x0

2

，

2+y0

2

）在直線x-y-1=0上，設直線PQ的斜率為k，
∵直線x-y-1=0的斜率為1，該直線與直線PQ垂直，
∴k=-1，
∴

1+x0 2 - 2+y0 2 -1=0 2+y0 2 -2 1+x0 2 -1 =-1

，解得

x0=3 y0=0

，
∴點P（1，2）關于直線x-y-1=0的對稱點Q的坐標為（3，0）．
（2）由

x+3y-1=0 x-y+1=0

得

x=- 1 2 y= 1 2

，即直線x+3y-1=0與直線x-y+1=0的交點P的坐標為P（-

1

2

，

1

2

），
設直線x+3y-1=0關于x-y+1=0的對稱直線為l，則l必過P（-

1

2

，

1

2

）；
在直線直線x+3y-1=0上取一點A（1，0），則同理可求點A（1，0）關于直線x-y+1=0的對稱點B的坐標為B（-1，2），
∴直線l的斜率k′=

2- 1 2

-1-(- 1 2 )

=-3，
∴直線x+3y-1=0關于x-y+1=0的對稱直線的方程為：y-2=-3（x+1），
整理得：3x+y+1=0．

點評：本題考查與直線關于點、直線對稱的直線方程，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．