Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且滿足：a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；數(shù)列{b_n}滿足：b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N﹡），b₁=1．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）記數(shù)列c_n=

1

bn+2n

（n∈N^*），若{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；通過數(shù)列是等差數(shù)列得到首項與公差的關系式，求出a_n，通過b_n-b_n-1=a_n-1，利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁，求出b_n；
（Ⅱ）化簡數(shù)列c_n=

1

bn+2n

（n∈N^*）的表達式，利用裂項法即可求解{c_n}的前n項和為T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；，∴

3a1+3d=6 a1+4d=5

可得a₁=1，d=1，…（2分）
∴a_n=n    （3分）
又b_n-b_n-1=a_n-1=n-1，（n≥2，n∈N^*），b₁=1，
∴當n≥2時，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+（2-1）+1
=

n(n-1)

2

+1
=

n2-n+2

2

，…（4分）
又b₁=1適合上式，…（5分）
∴b_n=

n2-n+2

2

． …（6分）
（Ⅱ）∵c_n=

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=

2

(n+1)(n+2)

=2(

1

n+1

-

1

n+2

)，…（8分）
∴T_n=2(

1

2

-

1

3

)+2(

1

3

-

1

4

)+2(

1

4

-

1

5

)+…+2(

1

n+1

-

1

n+2

)
=2(

1

2

-

1

n+2

)=1-

2

n+2

=

n

n+2

．…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用，數(shù)列求和的方法|（裂項法以及累加法），考查分析問題解決問題的能力．