設(shè)函數(shù)f(x)=ex,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)=f(x)-ex的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)記曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))(其中x0<0)處的切線為l,l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S,求S的最大值.
分析:(Ⅰ)由函數(shù)的解析式,求出g'(x)=ex-e,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,令導(dǎo)數(shù)大于0,解出增區(qū)間,令導(dǎo)數(shù)小于0,求出減區(qū)間.
(Ⅱ)由導(dǎo)數(shù)求出點P(x0,f(x0))(其中x0<0)處的切線為l的方程,求出直線與x軸、y軸的交點坐標,將面積S表示出的函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究它的最值
解答:解:(Ⅰ)由已知g(x)=e
x-ex,
所以g'(x)=e
x-e,…(1分)
由g'(x)=e
x-e=0,得x=1,
所以,在區(qū)間(-∞,1)上,g'(x)<0,
函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減;
在區(qū)間(1,+∞)上,g'(x)>0,
函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增; …(4分)
即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).
(Ⅱ)因為f'(x)=e
x,
所以曲線y=f(x)在點P處切線為l:
y-ex0=ex0(x-x0).…(6分)
切線l與x軸的交點為(x
0-1,0),與y軸的交點為
(0,ex0-x0ex0),…(8分)
因為x
0<0,所以
S=(1-x0)(1-x0)ex0=(1-2x0+)ex0,
∵
S′=ex0(-1),
∴在區(qū)間(-∞,-1)上,函數(shù)S(x
0)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)上,函數(shù)S(x
0)單調(diào)遞減.…(10分)
所以,當x
0=-1時,S有最大值,此時
S=,
所以,S的最大值為
.…(12分)
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,解答本題關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,此類題主要有兩種類型,一是用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,一是由單調(diào)性得函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號,由此建立不等式求參數(shù),本題的第一問屬于此類,解答第二問時要注意數(shù)形結(jié)合