Question

如圖，在矩形中，點為邊上的點，點為邊的中點，，現將沿邊折至位置，且平面平面.

(1) 求證：平面平面；

(2) 求二面角的大小.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：(1) 利用直角三角形，先證明折前有,折后這個垂直關系沒有改變，然后由平面平面的性質證明平面,最后由面面垂直的判定定理即可證明平面平面；（2）為方便計算，不妨設，先以為原點，以方向為軸，以方向為軸，以與平面向上的法向量同方向為軸，建立空間直角坐標系，寫給相應點的坐標，然后分別求出平面和平面的一個法向量，接著計算出這兩個法向量夾角的余弦值，根據二面角的圖形與計算出的余弦值，確定二面角的大小即可.

試題解析：(1) 證明:由題可知：折前

，這個垂直關系，折后沒有改變

故折后有

（2）不妨設，以為原點，以方向為軸，以方向為軸，以與平面向上的法向量同方向為軸，建立空間直角坐標系 7分

則

設平面和平面的法向量分別為，

由及可得到即，不妨取

又由及可得到即

不妨取 9分

11分

綜上所述，二面角大小為 12分.

考點：1.線線垂直的證明；2. 線面垂直、面面垂直的判定與性質；3.空間向量在解決空間角中的運用問題.