Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，數列{b_n}中，b₁=1，點P{b_n，b _n+1）在直線x-y+2=上．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（Ⅱ）設c_n=a_n-b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用a_n是S_n與2的等差中項把1代入即可求a₁，利用S_n=2a_n-2，再寫一式，兩式作差即可求數列{a_n}的通項；對于數列{b_n}，直接利用點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，得數列{b_n}是等差數列即可求通項；
（Ⅱ）先把所求結論代入求出數列{c_n}的通項，再利用數列求和的公式法可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n是S_n與2的等差中項，∴S_n=2a_n-2，①
當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，②
①-②可得：a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1（n≥2），即數列{a_n}是等比數列，
∴數列{a_n}的通項公式為：a_n=2ⁿ，
又∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即數列{b_n}是等差數列，又b₁=1，
∴數列{b_n}的通項公式為：b_n=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c_n=a_n-b_n=2ⁿ-2n+1，
∴數列{c_n}的前n項和T_n=

2(1-2n)

1-2

-

(1+2n-1)n

2

=2ⁿ⁺¹-2-n²

點評：本題考查數列的通項，涉及等差中項以及數列求和，屬中檔題．