Question

（2010•昆明模擬）在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)A₁在底面ABCD內(nèi)的射影恰好為點(diǎn)B，若AB=AD=

1

2

AA1，∠BAD=60°，則異面直線A₁B與B₁C所成角為（　�。�

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：先根據(jù)A₁D∥B₁C得到∠DA₁B（或其補(bǔ)角）即為異面直線A₁B與B₁C所成角；然后通過點(diǎn)A₁在底面ABCD內(nèi)的射影恰好為點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)結(jié)論：A₁B⊥平面ABCD求出RT△A₁BD中兩直角邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出角的度數(shù)．

解答：解：∵在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D∥B₁C，
∴∠DA₁B（或其補(bǔ)角）即為異面直線A₁B與B₁C所成角

設(shè)AB=AD=a，則AA₁=2a，
∵點(diǎn)A₁在底面ABCD內(nèi)的射影恰好為點(diǎn)B
∴A₁B⊥平面ABCD，A₁B=

AA 12-AB 2

=

3

a；
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴BD=a，
在RT△A₁BD中，tan∠DA₁B=

BD

A1B

=

a

3 a

=

3

3

，
∴∠DA₁B=30°．
即異面直線A₁B與B₁C所成角：30°．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線及其所成的角．求異面直線所成角的關(guān)鍵在于通過作平行線，把異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角．