Question

記函數(shù)f(x)=

bx+2

ax+1

 (a≠0)．
（1）試求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）當a=b=1時，函數(shù)f（x）的圖象能否由函數(shù)y=

1

x

的圖象變換得到？若能，則寫出變換過程，并作出函數(shù)圖象；若不能，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）使分式分母不為0，又a≠0，可得x的取值集合，即定義域，用分離常數(shù)法把所給式子變形，用反函數(shù)的圖象可得含有x那一部分式子的范圍，進而得到整個式子的范圍；
（2）由a=b=1得f（x）的解析式，根據(jù)圖象的平移知，由y=

1

x

的圖象經(jīng)過兩次平移得到，一種先向左平移一個單位，再向上平移一個單位，第二種先向上平移一個單位，再向左平移一個單位．

解答：解：（1）由ax+1≠0得f（x）的定義域為{x|x≠-

1

a

}，（2分）
f(x)=

bx+2

ax+1

=

b a (ax+1)+2- b a

ax+1

=

b

a

+

2- b a

ax+1

，（4分）
∵

2- b a

ax+1

≠0，∴函數(shù)f（x）的值域為{y|y≠

b

a

}；（6分）
（2）當a=b=1時，函數(shù)f(x)=1+

1

x+1

（7分）
由函數(shù)y=

1

x

的圖象向左平移1個單位，得到函數(shù)y=

1

x+1

的圖象（9分）
再由函數(shù)y=

1

x+1

的圖象向上平移1個單位，得到函數(shù)f(x)=1+

1

x+1

的圖象（11分）
故，函數(shù)f(x)=1+

1

x+1

的圖象為：

點評：求函數(shù)的定義域，是使解析式有意義的自變量的取值集合，當解析式中含有分式，且分子分母是齊次的，注意運用分離常數(shù)法來進行式子的變形，圖象的平移遵循左加左減，上加下減的規(guī)律．