Question

如圖，已知是直角梯形，且，平面平面，，，， 是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角大小的余弦值．

Answer 1

證明（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，．

    因?yàn)?sub>是的中點(diǎn)，

所以，．

因?yàn)?sub>，且，

所以，且，

所以四邊形是平行四邊形．

所以．

因?yàn)?sub>平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）因?yàn)?sub>，平面平面，

所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則軸在平面內(nèi)．

由已知可得，，，．

所以，，

設(shè)平面的法向量為．

由

所以

取，

所以 ．

又因?yàn)槠矫?sub>的一個(gè)法向量為

．

所以．

即平面與平面所成銳二面角大小的余弦值為．